【复合求积分公式】在数学分析中，积分是研究函数在某一区间上“面积”或“累积量”的重要工具。对于一些复杂的函数，直接求解其不定积分可能非常困难，甚至无法用初等函数表示。因此，人们发展出多种数值积分方法来近似计算定积分的值。其中，“复合求积分公式”是一种常用的数值积分方法，尤其适用于将积分区间划分为若干小区间后，分别应用基本积分公式进行计算。
一、复合求积分公式的定义
复合求积分公式是指将整个积分区间 [a, b] 分割为 n 个子区间，然后在每个子区间上使用简单的数值积分方法（如梯形法、辛普森法等），最后将所有子区间的积分结果相加，得到整个区间的近似积分值。这种方法提高了数值积分的精度，同时保持了计算的简便性。
二、常见的复合求积分方法
以下是一些常用的复合数值积分方法及其公式：
| 方法名称 | 公式表达 | 说明 |
| 复合梯形公式 | $ \int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{h}{2} \left[ f(a) + 2\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(b) \right] $ | 将区间均分，使用梯形面积求和 |
| 复合辛普森公式 | $ \int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(a) + 4\sum_{i=1}^{n/2} f(x_{2i-1}) + 2\sum_{i=1}^{(n/2)-1} f(x_{2i}) + f(b) \right] $ | 要求 n 为偶数，每两个子区间构成一个抛物线段 |
| 复合柯特斯公式 | $ \int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{h}{90} \left[ 7f(a) + 32\sum_{i=1}^{n/4} f(x_{4i-3}) + 12\sum_{i=1}^{n/4} f(x_{4i-2}) + 32\sum_{i=1}^{n/4} f(x_{4i-1}) + 14\sum_{i=1}^{n/4} f(x_{4i}) + 7f(b) \right] $ | 更高阶的数值积分方法，适用于更高精度要求 |
三、复合求积分公式的优点与局限性
| 优点 | 局限性 |
| 提高了数值积分的精度 | 计算量随子区间数量增加而增大 |
| 可以处理复杂函数 | 对于不光滑函数效果较差 |
| 简单易实现 | 需要合理选择步长 h 和区间划分方式 |
四、总结
复合求积分公式是数值分析中的重要工具，通过将大区间分割为多个小区间，并在每个小区间上应用基本积分方法，从而提高整体积分的准确性。不同方法适用于不同的应用场景，如梯形法适合简单快速计算，辛普森法则在精度上有明显优势，而柯特斯法则则适用于更高阶的精度需求。
在实际应用中，应根据被积函数的性质、计算资源以及所需的精度，合理选择合适的复合积分方法。同时，注意控制步长 h 的大小，避免因步长过小导致计算量过大，或因步长过大影响结果精度。