【偏导数基本公式是什么】在多元函数的微分学中，偏导数是一个非常重要的概念。它用于描述一个多元函数在某一变量方向上的变化率，而其他变量保持不变。掌握偏导数的基本公式对于理解多元函数的性质、极值问题以及应用数学中的许多领域都至关重要。
以下是对偏导数基本公式的总结，并通过表格形式清晰展示其内容。
一、偏导数的基本定义
设函数 $ f(x, y) $ 是一个二元函数，若在某一点 $ (x_0, y_0) $ 处，当 $ y $ 固定时，$ f $ 关于 $ x $ 的变化率为：
$$
f_x(x_0, y_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h, y_0) - f(x_0, y_0)}{h}
$$
同理，关于 $ y $ 的偏导数为：
$$
f_y(x_0, y_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0, y_0 + h) - f(x_0, y_0)}{h}
$$
二、常见函数的偏导数公式
| 函数形式 | 对 $ x $ 的偏导数 | 对 $ y $ 的偏导数 |
| $ f(x, y) = x^n $ | $ n x^{n-1} $ | $ 0 $ |
| $ f(x, y) = y^m $ | $ 0 $ | $ m y^{m-1} $ |
| $ f(x, y) = x + y $ | $ 1 $ | $ 1 $ |
| $ f(x, y) = xy $ | $ y $ | $ x $ |
| $ f(x, y) = \sin x $ | $ \cos x $ | $ 0 $ |
| $ f(x, y) = \sin y $ | $ 0 $ | $ \cos y $ |
| $ f(x, y) = e^x $ | $ e^x $ | $ 0 $ |
| $ f(x, y) = e^y $ | $ 0 $ | $ e^y $ |
| $ f(x, y) = \ln x $ | $ \frac{1}{x} $ | $ 0 $ |
| $ f(x, y) = \ln y $ | $ 0 $ | $ \frac{1}{y} $ |
三、偏导数的运算规则
1. 常数倍法则：
若 $ c $ 是常数，则
$$
\frac{\partial}{\partial x}(c f(x, y)) = c \frac{\partial f}{\partial x}, \quad \frac{\partial}{\partial y}(c f(x, y)) = c \frac{\partial f}{\partial y}
$$
2. 加法法则：
$$
\frac{\partial}{\partial x}(f + g) = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial x}, \quad \frac{\partial}{\partial y}(f + g) = \frac{\partial f}{\partial y} + \frac{\partial g}{\partial y}
$$
3. 乘积法则：
$$
\frac{\partial}{\partial x}(fg) = f \frac{\partial g}{\partial x} + g \frac{\partial f}{\partial x}, \quad \frac{\partial}{\partial y}(fg) = f \frac{\partial g}{\partial y} + g \frac{\partial f}{\partial y}
$$
4. 链式法则（适用于复合函数）：
若 $ z = f(u, v) $，且 $ u = u(x, y) $，$ v = v(x, y) $，则：
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}
$$
$$
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y}
$$
四、总结
偏导数是研究多元函数局部变化率的重要工具，其基本公式包括对各个变量的求导规则和一些常见的函数求导结果。掌握这些公式有助于进一步学习多元函数的极值、梯度、方向导数等内容。
通过上述表格和说明，可以系统地了解偏导数的基本公式及其应用场景，为后续的学习打下坚实的基础。