【泊松分布计算】泊松分布是一种常用的概率分布，用于描述在一定时间或空间内某事件发生的次数。它适用于独立事件，且事件发生的概率较低、发生次数较少的场景。例如，电话呼叫中心在某一小时内接到的电话数量、某路段一天内发生的交通事故次数等都可以用泊松分布来建模。
泊松分布的概率质量函数为：
$$
P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}
$$
其中：
- $ X $ 是随机变量，表示事件发生的次数；
- $ \lambda $ 是单位时间或空间内事件的平均发生次数（期望值）；
- $ e $ 是自然对数的底（约等于 2.71828）；
- $ k $ 是非负整数（0, 1, 2, ...）。
泊松分布计算示例
假设某快递公司每天平均收到 5 个投诉电话（即 $ \lambda = 5 $），我们可以计算不同天数投诉电话数量的概率。
| 投诉电话数量 $ k $ | 概率 $ P(X = k) $ | 计算公式 |
| 0 | 0.0067 | $ \frac{e^{-5} \cdot 5^0}{0!} $ |
| 1 | 0.0337 | $ \frac{e^{-5} \cdot 5^1}{1!} $ |
| 2 | 0.0842 | $ \frac{e^{-5} \cdot 5^2}{2!} $ |
| 3 | 0.1404 | $ \frac{e^{-5} \cdot 5^3}{3!} $ |
| 4 | 0.1755 | $ \frac{e^{-5} \cdot 5^4}{4!} $ |
| 5 | 0.1755 | $ \frac{e^{-5} \cdot 5^5}{5!} $ |
| 6 | 0.1462 | $ \frac{e^{-5} \cdot 5^6}{6!} $ |
| 7 | 0.1044 | $ \frac{e^{-5} \cdot 5^7}{7!} $ |
从表中可以看出，当 $ \lambda = 5 $ 时，最可能发生的投诉电话数量是 5 次，概率约为 17.55%。随着 $ k $ 增大，概率先上升后下降，符合泊松分布的典型特征。
泊松分布的特点总结
1. 离散型分布：只取非负整数值。
2. 单参数模型：仅由 $ \lambda $ 决定，$ \lambda $ 同时是均值和方差。
3. 独立事件：每个事件的发生与其他事件互不影响。
4. 小概率事件：适合描述低概率事件的重复发生。
通过上述表格与分析，我们可以更直观地理解泊松分布的应用方式及其计算方法。在实际问题中，合理选择 $ \lambda $ 是关键，它决定了整个分布的形状与概率分布情况。